오늘도 해석학 공부를 시작하도록 하겠다. 어제의 그 길고 머리아픈 글을 열심히 읽고도 다음글로 넘어온 당신에게 경의를 표한다. 나조차도 작성하는데 머리가 꽤 아팠는데, 그 난잡한 글을 열심히 읽고 넘어오는 일은 쉬운 일이 아니었을 것이다.
학점을 망치긴 했어도 나는 이미 해석학1을 한 번 공부했던 사람이다. 당연히 배경지식이 충분히 있을 수 밖에 없고, 남들에게는 낯설고 이상한 개념이 나에게는 익숙하게 다가올 수 밖에 없다. 그 점을 인지하면, 내가 쓴 글이 얼마나 불친절했던 글인지 다시 보이게 된다.
그래서 이번 글 부터는 설명을 좀 더 간단하게 하기 위해 노력할 것이며, 더 많은 그림을 넣어 이해를 최대한 돕고자 노력할 것이다. 그러면 시작하도록 하겠다.
어제는 내가 왜 해석학 공부를 (다시) 시작하게 되었는지 설명하였고, 해석학에서 첫 번째 단원인 The Real and Complex Number Systems 을 시작하였다. 총 9개의 소단원 중 2개의 (…) 소단원을 끝낸 상태이다.
배운 내용들은 유리수로는 현실의 수를 충분히 나타내기에 부족함을 보이며 실수의 필요성을 설명하였고, 그 실수체를 정의하기 위해서 먼저 정의되어야 하는 ordered set과 field의 개념 중 ordered set에 대한 내용을 다루었다. 여기서 내가 한 가지 설명을 빼먹은 것이 있는데, 실수체를 정의 하는 과정에서 LUBP (least-upper-bound-property)도 필요하다. 물론 이것도 Ordered Set 소단원에서 같이 다루었으니 걱정하지 않아도 된다.
어제 내용 복습은 여기서 마무리 하도록 하겠다. 오늘은 field에 대해 정의를 한 뒤, 실수체에 대해 정의해보도록 하겠다. 그리고 가능하다면 1단원을 끝내보도록 하겠다.
field (체)는 아래의 “field axiom” 이라고 불리는 아래의 내용들을 만족하는 addition (덧셈)과 multiplication (곱셈)이라고 불리는 두 가지 연산이 정의된 어떤 집합 $F$이다.
Axioms for addition (덧셈 공리)
(A1) 만약 $x \in F$이고 $y \in F$라면, 두 원소의 합인 $x+y$가 $F$에 존재한다.
(A2) 덧셈은 교환법칙이 성립한다: 모든 $x, y \in F$에 대하여 $x+y=y+x$ 이다.
(A3) 덧셈은 결합법칙이 성립한다: 모든 $x, y, z \in F$에 대하여 $(x+y)+z=x+(y+z)$ 이다.
(A4) $F$는 모든 $x \in F$에 대하여, $0+x=x$인 원소 $0$을 가진다.
(A5) 모든 $x \in F$에 대하여 이에 대응하는 $-x \in F$가 존재하여 다음을 만족시킨다. \[x + (-x) = 0\]
Axioms for multiplication (곱셈 공리)
(M1) 만약 $x \in F$이고 $y \in F$라면, 두 원소의 곱인 $xy$가 $F$에 존재한다.
(M2) 곱셈은 교환법칙이 성립한다: 모든 $x, y \in F$에 대하여 $xy=yx$ 이다.
(M3) 곱셈은 결합법칙이 성립한다: 모든 $x, y, z \in F$에 대하여 $(xy)z=x(yz)$ 이다.
(M4) $F$는 모든 $x \in F$에 대하여, $1x=x$인 원소 $1$을 가진다. 이때, $1 \neq 0$ 이다.
(M5) $0$을 제외한 모든 $x \in F$에 대하여 이에 대응하는 $1/x \in F$가 존재하여 다음을 만족시킨다. \[x \cdot (1/x) = 1\]
The distributive law (분배 법칙)
모든 $x,y,z \in F$에 대하여 다음이 성립한다. \[x(y+z)=xy+yz\]
이것이 field의 정의이다. 이런저런 이야기가 한꺼번에 쏟아져 나와서 헷갈릴 수 있지만, 걱정하지 않아도 된다. 지금부터 내용을 하나씩 설명해주도록 하겠다.
우선 더하기와 곱하기 자체는 우리에게 매우 익숙한 개념이다. 초, 중학교를 거치면서 거의 필수적으로 배우는 개념이기 때문이다. field 는 이러한 덧셈과 곱셈이 사용될 수 있어야 하는 것이다. 그것의 field의 정의의 ‘일부’이다.
우선 A1과 M1을 살펴보자. 이 두 가지 조건이 말하는 내용은 간단하다. field $F$에서 어떤 원소 두 개를 가져와서 덧셈이든 곱셈이든 연산을 하고 나면, 어떤 결과가 나와야 하는데, 그 결과가 $F$에 포함되어 있어야 한다는 의미이다. 좀 더 정확히 말하면, 그것이 덧셈과 곱셈이 정의되어야 하는 방식이다.
A2와 M2, A3와 M3도 우리에게 친숙한 개념이다. 두 수를 연산하는 과정에서 순서를 바꿔도 결과가 같아야 하고, 특정 연산을 두 번 반복해야 할 때 뭘 먼저하든 상관이 없게 정의되어야 한다는 뜻이다.
A4와 M4의 경우에는, 연산 결과 자기자신이 나오게하는 ‘0’과 ‘1’이 필요하다는 내용이다. 어떤 수에 0을 더하면 자기 자신이 나오고, 어떤 수에 1을 곱해도 자기 자신이 나온다는 건 대부분의 사람이 아는 내용일 것이다. 그런데 여기서 내 눈에 띈 부분이 하나 있었는데, 그건 1이 0과 달라야 한다는 부분이었다.
당연히 0과 1은 다른거 아니냐라고 생각할 수 있지만, 여기서의 0과 1은 우리가 아는 것과는 조금 다른 0과 1을 생각해야 한다. 기존에 늘 사용해오던 정수 0과 1이 아니라, 덧셈에서 0의 역할을 하는 무언가와, 곱셈에서 1의 역할을 하는 무언가로 생각을 해야한다.
애초에 우리가 하고있는 것은 field가 무엇인지를 정의하는 것이지, 유리수나 실수에서의 덧셈과 곱셈을 콕 집어 설명하고 있는 것이 아니다. field는 유리수체와 실수체 이외에도 여러 가지가 있기 때문에, 어떤 ‘체가 아니면서 덧셈과 곱셈이 정의되는 집합’ 에서는 덧셈에서 0의 역할을 하는 무언가와, 곱셈에서 1의 역할을 하는 무언가가 서로 일치하는 경우도 있다! 그렇게 때문에 굳이 $1 \neq 0$ 이어야 한다는 조건이 M4에 붇게되는 것이다.
마지막 A5와 M5는, 덧셈의 경우는 $F$에 포함된 모든 원소가, 곱셈의 경우에는 $0$을 제외한 $F$에 포함된 모든 원소가, 대응되는 ‘역원’이 $F$에 포함되어 있다는 것을 의미한다. 여기서 ‘역원’이라는 단어를 사용했는데, 쉽게 말하면 원래꺼랑 연산했을 때 ‘항등원’이 나오게 하는 것이다. 여기서 항등원은 A4와 M4에 대한 부분에서 이야기 했던 0과 1이다. 덧셈의 항등원은 연산결과 자기자신이 나오는 0, 그리고 곱셈의 항등원은 연산결과 자기자신이 나오는 1이다.
마지막으로, The distributive law 부분은 분배법칙에 대한 이야기이다. 식을 보면 $x$가 $y+z$에 곱해져 있는데, 이 곱해지는 $x$가 $y$와 $z$에 각각 ‘분배’ 되어 $xy+xz$가 되는 것을 확인할 수 있다. 이 또한 field의 덧셈과 곱셈이 정의되어야 하는 방식이다.
이걸로 field의 정의에 대한 설명을 완료하였다. 요약하자면, field는 덧셈과 곱셈이 합쳐서 총 11개의 공리를 따르도록 정의가 된 집합을 의미하는 것이다.
이 부분에서는 먼저 식의 기호를 표기하는 댜앙한 방식을 설명하고 있다. 예를 들어, $x+(-y)$를 $x-y$로 표기한다거나, $(x+y)+z$를 $x+y+z$로 표기하기도 한다고 설명하는 부분이다. 이 부분은 생략하도록 하겠다.
그 다음에는 $\mathbb{Q}$가 field임을 설명하는 부분인데, 이를 정의를 이용하여 직접 보이지는 않고 된다고만 하면서 넘어간다. 역시 생략하도록 하겠다.
마지막 부분은 $\mathbb{Q}$의 친숙한 성질들이 이러한 ‘공리’의 결과임을 증명할만한 가치가 있다고 언급하면서, 한 번 해두면 실수체와 복소수체에 대해서 다시 할 필요는 없을거라고 말한다. 이 부분도 생략하겠다.
덧셈의 공리는 아래의 문장들을 암시한다.
덧셈의 공리들을 이용하여 식들을 이리저리 잘 조작하면 저런 결과들을 얻어낼 수 있다는 것을 의미한다. 이 부분의 증명은 그렇게 어렵지 않으니 1번 문장만 증명하고 넘어가도록 하겠다. 다른 것들도 1번과 비슷하게 증명하면 된다.
1번 문장 증명:
이 등식들을 쭉 옆으로 이어보면 $y=z$라는 결론에 도달하여 이 문장은 증명된다. $\blacksquare$
곱셈의 공리는 아래의 문장들을 암시한다.
덧셈과 마찬가지로 곱셈의 공리들을 이용하여 식들을 이리저리 잘 조작하면 저런 결과들을 얻어낼 수 있다는 것을 의미한다. 한 가지 눈에 띄는 부분은, 4개의 문장에 모두 $x \neq 0$이라는 전제 조건이 붙는데, 이는 증명 과정에서 (M5)의 조건을 자세히 살펴보면 이해할 수 있을 것이다.
field의 공리는 모든 $x,y,z \in F$ 에 대하여 아래 문장들을 암시한다.
눈치챈 사람도 있겠지만, 자세히 보면 특정 연산의 공리라고 표현하지 않고 field의 공리라고 적혀있다. 그렇다. 이 Proposition은 덧셈과 곱셈이 모두 따라야 하는 공리인 분배 법칙을 기반으로 얻어지는 성질인 것이다. 이것들에 대한 증명도 생략하도록 하겠다. 증명하기 위한 팁을 주자면, 이런저런 공리를 사용하면서 어떻게 해야 원하는 형태나 문자를 얻어낼 수 있을지 고민해봐야 한다.
ordered field는 어떤 field $F$가 ordered set이기도 하면서 다음 조건을 만족하는 것이다.
만약 $x>0$ 이면 $x$가 positive 하다고 부르고, $x<0$ 이면, negative 하다고 부른다.
드디어 실수을 만들기 위한 큰 발걸음을 내딛었다. 어제 배웠던 ordered set의 개념과, 오늘 배운 field의 개념을 2가지 조건을 끼워넣어 조합한 결과, ordered field라는 새로운 개념을 정의하게 되었다.
이름이 암시하는 것 처럼, ordered field는 order가 부여된 field 이다. 물론 단순히 field인 동시에 ordered set 이기만 하면 되는 것은 아니고, 2가지 조건이 더 붙어야 한다. 그 두 조건을 자세히 살펴보면, 부등식의 양쪽에 같은 값을 더해도 관게가 유지되어야 한다는 성질 하나와, 0보다 큰 두 원소의 곱셉결과도 0보다 더 커야한다는 조건이다.
여기서 한 가지 의문이 들 수 있는데, 왜 양변에 같은 수를 곱하는 경우에 대해서는 여기서 다루지 않을 것인가? 그것은 다음에 나올 Propoisition에서 다루게 된다. 즉, 양변에 같은 수를 곱했을 때 일어나는 일은 ordered field의 정의가 아니라, 특징이 되는 것이다.
아래의 문장들은 모든 ordered field에서 참이다.
이 Proposition 에서는 ordered field가 지니는 특성에 대하여 이야기 한다. 여기서 1.17 에서는 보이지 않았던 양변에 같은 수를 곱하는 경우에 대해 다루어준다.
첫 번째 문장을 보면, $F$의 어떤 원소 $x$가 $x>0$ 이면 그 역원인 $-x$가 $-x<0$ 임을 이야기 하고, 거꾸로 어떤 원소의 역원이 negative 하면, 원래 원소는 positive 하다는 사실을 이야기한다. 우리가 기존에 알던 부호를 뒤집으면 부등호가 뒤집히는 현상에 대한 이야기인 것이다.
두 번째 문장과 세 번째 문장을 보면, $x$가 positive한 경우에 어떤 부등식에 양변에 똑같이 $x$를 곱해주면, 부등호의 방향을 유지하고, negative한 경우에는 부등호의 방향이 뒤집히는 것에 대한 이야기를 하고 있다.
이건 분명 ordered field의 중요한 성질인 것은 맞지만, 공리가 아닌 유도된 성질이라는 점이 개인적으로 흥미롭게 느껴진다. 이러한 성질들이 뒤에서도 여러 가지 있었는데, 그 기준을 어떤 식으로 정한건지 궁금하기는 하나, 아쉽게도 필자는 해석학의 역사에 대해서는 잘 모르기 때문에 지금은 넘어가도록 하겠다.
네 번째 문장을 보면, $F$의 어떤 원소 $x$가 0이 아니면, 자기 자신을 두 번 곱한 결과는 0보다 큼을 의미한다. 이 때, $x$가 positive 한지, negative 한지에 관계없이 항상 $x^2$는 positive 하다는 것이 이 문장의 주요한 내용이다.
마지막 다섯 번째 문장을 보면, $x$와 $y$가 모두 양수라는 전제 하에, 곱셈에 대한 역원들인 $1/x$와 $1/y$는 order 관계가 원래 원소들의 관계에서 역전된 관게임을 이야기하고 있다. 아마 중학교 때쯤 분자가 같으면 분모가 더 작은 쪽이 크다는 식의 내용을 배울 것이다. (물론 여기서 분자와 분모 모두 양수인 것이 전제이다.) 이 문장에서 이야기 하는 내용은 그것과 관련된 이야기인 것이다.
이것 역시 증명은 생략하도록 하겠다. 무슨 증명할거만 나오면 죄다 건너뛰냐고 생각할 수도 있는데, 지금 많이 건너 뛰는 이유는 초반에 너무 힘을 빼지 않기 위해서이다. 뒤에 가서는 증명하기 더 어려운 내용이 많이 나올텐데, 그런 내용들은 가능한 최대한 증명하고 과정을 설명하고 넘어갈테니 내가 비교적 쉬워서 넘어간 Proposition들은 연습삼아 스스로 증명해보기를 바란다.
원래 오늘 계획도 1단원을 모두 마무리 하는 것이였다. 그러나 책의 텍스트 양도 많고, $\LaTeX$ 문법을 이용하여 타이핑을 하는 것은 고된 작업이라 그런지, 고작 1개의 소단원 밖에 다루지 못했다. 어제의 마무리와 거의 똑같아 보인다면, 정확하다. 어제와 같은 문제점을 겪었던 것이다.
그래서 전략을 수정하기로 했다. 애초에 책에 있는 걸 한국어로 옮기면서 내 말로 추가로 풀어서 설명하는 건 예상보다 훨씬 고된 작업이였다. 앞으로는 하나의 글에 한 가지 메인 개념만 담는 식으로 글을 진행하도록 해야겠다. 그래야 지치지 않고 이 활동을 오래도록 이어갈 수 있을 것 같다.
그리고 처음에 이야기 했던 것처럼, 연습 문제들을 모두 풀어볼 계획인데, 글 작성을 빠르게 마무리하고 연습 문제들을 풀어볼 시간을 확보하는 것이 중요할 것 같다. 학기중에도 한 문제 푸는 데 오랜 시간이 걸렸는데, 감 다 떨어진 방학은 오죽하겠는가. 또한 그 답이 맞는지 검증할 시간도 필요하기 때문에 연재 속도를 조금 늦추고 더 장기적으로 이어가야 할 것 같다.
마지막으로, 오늘 배운 내용들을 간단하게 요약해보겠다.
오늘의 공부는 여기까지!